题目内容
【题目】【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学(理)】
已知函数.
(1)当时,试求函数图像过点
的切线方程;
(2)当时,若关于
的方程
有唯一实数解,试求实数
的取值范围;
(3)若函数有两个极值点
,且不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】试题分析:对于(1),先利用导数求出切线的斜率,再写出点斜式方程;
对于(2),方程可化为:
,构造
,通过研究
的单调性即可求出
的范围.
对于(3),首先根据有两个极值点
,利用导数求出
的取值范围以及极值点;将
恒成立转化为
恒成立,然后构建函数求出
的最小值即可.
试题解析:
(1)当时,有
.
∵,∴
,
∴过点的切线方程为:
,
即.
(2)当时,有
,其定义域为:
,
从而方程可化为:
,
令,则
,
由或
;
.
∴在
和
上单调递增,在
上单调递减,
且,
又当时,
;当
时,
.
∵关于的方程
有唯一实数解,
∴实数的取值范围是:
或
.
(3)∵的定义域为:
.
令.
又∵函数有两个极值点
,
∴有两个不等实数根
,
∴,且
,
从而.
由不等式恒成立
恒成立,
∵,
令,
∴,当
时恒成立,
∴函数在
上单调递减,∴
,
故实数的取值范围是:
.
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