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【题目】【湖南省2017届高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学(理)】

已知函数.

(1)当时,试求函数图像过点的切线方程;

(2)当时,若关于的方程有唯一实数解,试求实数的取值范围;

(3)若函数有两个极值点,且不等式恒成立,试求实数的取值范围.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】试题分析:对于(1),先利用导数求出切线的斜率,再写出点斜式方程;

对于(2),方程可化为:,构造,通过研究的单调性即可求出的范围.

对于(3),首先根据有两个极值点,利用导数求出的取值范围以及极值点;将恒成立转化为恒成立,然后构建函数求出的最小值即可.

试题解析:

(1)当时,有.

,∴

∴过点的切线方程为:

.

(2)当时,有,其定义域为:

从而方程可化为:

,则

.

上单调递增,在上单调递减,

又当时,;当时,.

∵关于的方程有唯一实数解,

∴实数的取值范围是:.

(3)∵的定义域为:.

.

又∵函数有两个极值点

有两个不等实数根

,且

从而.

由不等式恒成立恒成立,

,当时恒成立,

∴函数上单调递减,∴

故实数的取值范围是:.

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