Question

2．过点P（1，2）的直线l交x，y轴的正半轴与A、B两点，O为坐标原点，当|AB|最小时，直线l的方程为y-2=$\root{3}{2}$（x-1）．

Answer 1

分析 如图所示，设∠OAB=α，α∈$（0，\frac{π}{2}）$．可得|PA|=$\frac{2}{sinα}$，|PB|=$\frac{1}{cosα}$．|AB|=|PA|+|PB|=$\frac{2}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$=f（α），利用导数研究其单调性极值即可得出．

解答 解：如图所示，
设∠OAB=α，α∈$（0，\frac{π}{2}）$．
则|PA|=$\frac{2}{sinα}$，|PB|=$\frac{1}{cosα}$．
∴|AB|=|PA|+|PB|=$\frac{2}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$=f（α），
f′（α）=$-\frac{2cosα}{si{n}^{2}α}$+$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$=$\frac{（sinα-\root{3}{2}cosα）（si{n}^{2}α+\root{3}{4}cosα+\root{3}{2}sinαcosα）}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$，
当tanα＞$\root{3}{2}$时，f′（α）＞0，此时函数f（α）单调递增；当0＜tanα＜$\root{3}{2}$时，f′（α）＜0，此时函数f（α）单调递减．
∴当tanα=$\root{3}{2}$时，函数f（α）取得最小值，
此时直线l的方程为：y-2=$\root{3}{2}$（x-1）．
故答案为：y-2=$\root{3}{2}$（x-1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性极值、直线的方程、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．