Question

2．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）归纳猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（Ⅰ）可猜想a_n=$\frac{1}{3n-2}$；分二步证明即可：①当n=1时，去证明等式成立；②假设n=k时，等式成立，去推证n=k+1时，等式也成立即可．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{7}$；
a₃=$\frac{{a}_{2}}{3{a}_{2}+1}$=$\frac{\frac{2}{7}}{3×\frac{2}{7}+1}$=$\frac{2}{13}$，a₄=$\frac{\frac{2}{13}}{3×\frac{2}{13}+1}$=$\frac{2}{19}$；
（2）由（1）可猜想：a_n=$\frac{2}{6n-5}$．
证明：①当n=1时，a₁=2，等式成立；
②假设n=k时，a_k=$\frac{2}{6k-5}$，
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{2}{6k-5}}{3×\frac{2}{6k-5}+1}$=$\frac{2}{6+6k-5}$=$\frac{2}{6（k+1）-5}$，
即n=k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N^*，a_n=$\frac{2}{6n-5}$．

点评 本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，猜得a_n=$\frac{2}{6n-5}$是关键，考查运算与推理证明的能力，要求熟练掌握数学归纳法的证明过程和步骤．