题目内容

7.若球的半径为a,球的最大截面面积为4π,则二项式(a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$)4的展开式中的常数项为24.

分析 由球的最大截面面积求出a值,然后写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求.

解答 解:由题意可知πa2=4π,即a=2.
∴(a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$)4 =(2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$)4
由${T}_{r+1}={C}_{4}^{r}(2\sqrt{x})^{4-r}(-\frac{1}{\sqrt{x}})^{r}$=$(-1)^{r}{2}^{4-r}{C}_{4}^{r}{x}^{2-r}$.
令2-r=0,得r=2.
∴二项式(a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$)4的展开式中的常数项为$(-1)^{2}×{2}^{2}×{C}_{4}^{2}=24$.
故答案为:24.

点评 本题考查圆的面积公式,考查了二项式系数的性质,是基础题.

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