Question

(本小题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点．
（1）证明：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若，∠ABC=30°，求二面角A—PB—C的大小．

Answer 1

（1）平面PAC⊥平面PBC
（2）二面角A—PB—C的大小为60°

（1）证明：∵PA垂直于⊙O所在的平面，BC在该平面内，所以PA⊥BC。
∵C是圆周上不同于A，B的一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。
又因为PA与AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC。
又困为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC    …………………5分
（2）作AD⊥PB于D点，AE⊥PC于E点，连DE。
由（1）知平面PAC⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC
而PB在平面PBC内，所以AE⊥PB
即有PB⊥AD（所作）PB⊥AE，又AE与AD是平面ADE内的两条相交直线，
所以PB⊥平面ADE，所以∠ADE是二面角A—PB—C的平面角。…………………………9分
设AB=2r，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，所以AC=r
由条件知PA=
在Rt△PAC中，AE=
在Rt△PAB中，AD=
在Rt△AED中，sin∠ADE=，所以∠ADE=60°
故二面角A—PB—C的大小为60°………………………………………12分