Question

【题目】已知函数，其图象的一条切线为.

（1）求实数的值；

（2）求证:若，则.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析

【解析】

（1）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，以及已知的切线方程，可得，然后研究可得，最后代值计算，可得结果.

（2）构建函数，计算，并利用二阶导判断的单调性，根据的值域来判断的单调性，进一步求得，可得结果.

（1）函数定义域为

∵,∴.

由题可知：

在点处的切线为,

则且,

∴,即.

令,

则.

当时,

,在单调递增;

当时,

,在单调递减.

当时,;

当时,.

∴,.故实数的值为.

（2）令

即

则.

即

令,

则,

∵恒成立,

∴在单调递减,即在单调递减.

又,

,

∴,使得.

∴当时,;

当时,,

故在单调递增,在单调递减.

∴.

又,即,

∴,

.

令,.

则.

∵恒成立,

∴,故在单调递增.

∴,

故,

即.

∴当时,.