题目内容
【题目】已知函数f(x)x+alnx.
(1)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程(用含a的式子表示)
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:.
【答案】(1)y=(﹣2+a)x+2﹣a.(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)求出切点坐标,根据导函数求出切线斜率,即可得到切线方程;
(2)求出导函数,对g(x)=﹣x2+ax﹣1,进行分类讨论即可得到原函数单调性;
(3)结合(2)将问题转为证明1,根据韦达定理转化为考虑h(x)=2lnx﹣x的单调性比较大小即可得证.
(1)∵f(x)x+alnx(x>0)
∴f′(x)(x>0)
∴当x=1时,f(1)=0,f′(1)=﹣2+a,
设切线方程为y=(﹣2+a)x+b,代入(1,0),得b=2﹣a,
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=(﹣2+a)x+2﹣a.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
函数的导数f′(x),
设g(x)=﹣x2+ax﹣1,注意到g(0)=﹣1,
①当a≤0时,g(x)<0恒成立,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
②当a>0时,判别式△=a2﹣4,
(i)当0<a≤2时,△≤0,即g(x)≤0,即f′(x)≤0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(ii)当a>2时,令f′(x)>0,得:x;
令f′(x)<0,得:0<x或x;
∴当a>2时,f(x)在区间(,)单调递增,在(0,),(,+∞)单调递减;
综上所述,综上当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当a>2时,在(0,),(,+∞)上是减函数,
在区间(,)上是增函数.
(3)由(2)知a>2,0<x1<1<x2,x1x2=1,
则f(x1)﹣f(x2)x1+alnx1﹣[x2+alnx2]
=(x2﹣x1)(1)+a(lnx1﹣lnx2)
=2(x2﹣x1)+a(lnx1﹣lnx2),
则2,
则问题转为证明1即可,
即证明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2,
则lnx1﹣lnx1,
即lnx1+lnx1>x1,
即证2lnx1>x1在(0,1)上恒成立,
设h(x)=2lnx﹣x,(0<x<1),其中h(1)=0,
求导得h′(x)10,
则h(x)在(0,1)上单调递减,
∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x0,
故2lnx>x,
则a﹣2成立.