题目内容
【题目】已知函数,.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)当时,求的极值点;
(3)若为R上的单调函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)极大值点为,极小值点为;(3)
【解析】
(1)首先求出切点,再求出,利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.
(2)先求导数,再讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况,通过列表来确定极值点即可.
(3)根据导函数,由为R上的单调函数,若为R上的单调增函数,故恒成立,根据二次函数的性质,得到,为R上的单调递减函数时,则恒成立,得到,进而可求解.
(1),所以切点为,
曲线在处的切线方程:,即,
故曲线在处的切线方程为.
(2)当时,,
由,得,,
当变化时,与的相应变化如下表:
,
所以是的极大值点,是的极小值点.
(3)当为R上的单调递增函数时,
则恒成立,即恒成立,
当时,则恒成立,
当时,,解得,
当为R上的单调递减函数时,
则恒成立,即,
当时,则不恒成立,
当时,,无解.
综上所述,.
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