题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)(ⅰ)求证:;
(ⅱ)设,当
时,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,过原点分别作曲线
与
的切线
,已知两切线的斜率互为倒数,证明:
.
【答案】(Ⅰ)(ⅰ)详见解析;(ⅱ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)(ⅰ)构造函数,通过求导分析单调性,利用最值即可证明;
(ⅱ)由,当
时,利用
可得函数单调性从而知成立,当
时求导分析单调性找到反例知不成立,从而得解;
(Ⅱ)设切线的方程为
,切点为
,则
,
,可得
的的方程为
,设
与曲线
的切点为
,通过求导列方程可得
,令
,求导利用单调性即可证得.
(Ⅰ)(ⅰ)证明:令,
则,
所以时,
,
时
,
所以,即
.
(ⅱ),
.
a.当时,由(Ⅰ)知
,
所以,
所以在[
上递增,
则恒成立,符合题意.
b.当时,令
,则
,所以
在
上递增,且
,则存在
,使得
.
所以在
上递减,在
上递增;
又,所以
不恒成立,不合题意.
综合a,b可知,所求实数a的取值范围是.
(Ⅱ)证明:设切线的方程为
,切点为
,则
,
,
所以,
, 则
.
由题意知,切线的斜率为
,
的的方程为
.
设与曲线
的切点为
,
则,
所以,
.
又因为,
消去和a后 ,整理得
.
令,
则,
易知在
上单调递减, 在
上单调递增 .
若,因为
,
,所以
,
而,在
上单调递减,
所以.
若,因为
在
上单调递增,且
,则
,所以
(舍去).
综上所述:.
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【题目】2016年时红军长征胜利80周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答,宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.
公园 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
获得签名人数 | 45 | 60 | 30 | 15 |
然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题,从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品.
(Ⅰ)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(Ⅱ)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为,求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率;
(Ⅲ)若幸运之星小李对其中8个问题能答对,而另外2个问题答不对,记小李答对的问题数为,求
的分布列及数学期望
.