题目内容
【题目】如图所示,在棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,PA=AD=DC=2,AB=4且AB∥CD,∠BAD=90°.
(1)求证:BC⊥PC;
(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题(1)连接,,取的中点,连接,,所以为等腰直角三角形,故,而,所以平面,所以.以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算得线面角的正弦值为.
试题解析:
(1)在直角梯形中,,
取中点,连接,
则四边形为正方形,
∴,
又,
则为等腰直角三角形,
∴,
又∵平面,平面,
∴,
由得平面,
∵平面,所以.
(2)以为坐标原点,分别为轴建立如图所示的坐标系,
则,.
由(1)知即为平面的一个法向量,
,
即与平面所成角的正弦值为.
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