题目内容

【题目】设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0.
(1)若a是从1,2,3这三个数中任取的一个数,b是从0,1,2这三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[0,3]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

【答案】解:(1)由题意,知基本事件共有9个,可用有序实数对表示为(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),
其中第一个表示a的取值,第二个表示b的取值
由方程9x2+6ax﹣b2+4=0的△=36a2﹣36(﹣b2+4)≥0a2+b2≥4
∴方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根包含7个基本事件,即(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).
∴此时方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根的概率为
(2)a,b的取值所构成的区域如图所示,其中0≤a≤3,0≤b≤2
∴构成“方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根”这一事件的区域为{(a,b)|a2+b2≥4,0≤a≤3,0≤b≤2}(图中阴影部分).
∴此时所求概率为

【解析】(1)利用有序实数对表示基本事件,由古典概型公式解答;
(2)表示a,b满足的区域,求出面积,利用几何概型解答.
【考点精析】通过灵活运用几何概型,掌握几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等即可以解答此题.

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