题目内容
【题目】已知点在椭圆
:
(
)上,设
,
,
分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点
到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点,
(
)为椭圆
上两点,且满足
,求证:
的面积为定值,并求出该定值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意列出关于 、
、
的方程组,结合性质
,求出
、
、
,即可得结果;(Ⅱ)直线
的方程为
,代入椭圆方程,并整理得
,根据韦达定理,弦长公式将、点到直线的距离公式将
的面积,用
表示,再结合
,即可得结果.
试题解析:(Ⅰ)由题意,得直线的方程为
,点
,
点
到直线
的距离
,整理,得
.①
又点在椭圆上,
.②
联立①②解得,
,
椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,代入椭圆方程,并整理得
.
,
,
,
,
.
又,则由题意,得
.
整理,得,则
,
整理,得(满足
).
.
又点到直线
的距离
.
,为定值.
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