题目内容

【题目】已知函数)将的图象向右平移两个单位,得到函数的图象.

(1)求函数的解析式;

(2)若方程上有且仅有一个实根,求的取值范围;

(3)若函数的图像关于直线对称,设,已知对任意的恒成立,求的取值范围.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】 试题分析】(1)借助平移的知识可直接求得函数解析式;(2)先换元将问题进行等价转化为有且只有一个根,再构造二次函数运用函数方程思想建立不等式组分析求解;(3)先依据题设条件求出函数的解析式,再运用不等式恒成立求出函数的最小值:

解:(1)

(2)设,则,原方程可化为

于是只须上有且仅有一个实根,

法1:设,对称轴t=,则 ① , 或

由①得 ,即

由②得 无解, ,则

法2:由 ,得,

,则 ,记

上是单调函数,因为故要使题设成立,

只须,即

从而有

(3)设的图像上一点,点关于的对称点为

由点的图像上,所以

于是. .

,化简得,设,恒成立.

解法1:设,对称轴

③ 或

由③得, 由④得,即

综上, .

解法2:注意到,分离参数得对任意恒成立

,即

可证上单调递增

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