Question

【题目】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝．

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer 1

【答案】（1）1 040 m；（2）；（3）．

【解析】（1）在中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝．

从而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝．

由正弦定理，可得．

所以索道AB的长为1 040 m．（3分）

（2）假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100＋50t）m，乙距离A处130t m，

所以由余弦定理，得，

因为，即0≤t≤8，所以当分钟时，甲、乙两游客距离最短．（6分）

（3）由正弦定理，得．

乙从B出发时，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m），还需走710 m才能到达C．

设乙步行的速度为v m/min，由题意得，解得，

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内．（10分）