Question

4．已知：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是同一平面内的三个向量，其中向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2）
（1）若k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$平行，求实数k的值；
（2）若k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$垂直，求实数k的值．
（3）若|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标．

Answer 1

分析 首先由向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标求得k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$的坐标．
（1）直接由向量平行的坐标表示列式求得k的值；
（2）直接由向量垂直的坐标表示列式求得k的值；
（3）设出$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$联立方程组求得x，y值得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），
∴k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（k-6，2k+4），2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$=（14，-4）．
（1）∵（k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）∥（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），∴-4（k-6）-14（2k+4）=0，即k=-1；
（2）∵（k$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），∴14（k-6）-4（2k+4）=0，即k=$\frac{50}{3}$；
（3）设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，得：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=20}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{c}$=（2，4）或$\overrightarrow{c}$=（-2，-4）．

点评 平行与垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$?a₁a₂+b₁b₂=0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$?a₁b₂-a₂b₁=0，是基础题．