题目内容
【题目】已知函数f(x)= x2+ax+1(a∈R). (Ⅰ)当a=
时,求不等式f(x)<3的解集;
(Ⅱ)当0<x<2时,不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求关于x的不等式f(x)﹣ a2﹣1>0的解集.
【答案】解:(Ⅰ)当a= 时,不等式f(x)<3, 即为
x2+
x+1<3,即3x2+x﹣4<0,
解得﹣ <x<1,
则原不等式的解集为(﹣ ,1);
(Ⅱ)当0<x<2时,不等式f(x)>0恒成立,
即有 x2+ax+1>0在0<x<2恒成立,
即为﹣a< x+
在0<x<2恒成立,
由y= x+
的导数为y′=
﹣
,
可得函数y在(0, )递减,(
,2)递增,
则y= x+
的最小值为2
=
,
即有﹣a< ,解得a>﹣
;
(Ⅲ)f(x)﹣ a2﹣1>0,
即为3x2+2ax﹣a2>0,
即(x+a)(3x﹣a)>0,
当a=0时,即为x2>0,解集为{x|x≠0};
当a>0时, >﹣a,解集为{x|x>
或x<﹣a};
当a<0时, <﹣a,解集为{x|x<
或x>﹣a}.
【解析】(Ⅰ)化简为二次不等式的一般式,解不等式即可得到所求解集;(Ⅱ)由题意可得 x2+ax+1>0在0<x<2恒成立,即为﹣a<
x+
在0<x<2恒成立,求出y=
x+
的导数,单调区间,可得最小值,即可得到a的范围;(Ⅲ)f(x)﹣
a2﹣1>0,即为3x2+2ax﹣a2>0,即(x+a)(3x﹣a)>0,对a讨论,a=0,a>0,a<0,由二次不等式的解法,即可得到所求解集.

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