Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=1，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，则a₁₀₁-a₁₀₀的值为9.3326215443944×10¹⁵⁷．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，由此利用累乘法能求出a_n，从而能求出a₁₀₁-a₁₀₀的值．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=a₂=1，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1$，
∴{$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×1×2×…×（n-1）=（n-1）!．
∴a₁₀₁-a₁₀₀=100!-99!=100×99！=9.3326215443944×10¹⁵⁷．
故答案为：9.3326215443944×10¹⁵⁷．

点评 本题考查数列的第101项和第100项的差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．