题目内容
17.已知点M(3,2),点P在y轴上运动,点Q在圆C:(x-1)2+(y+2)2=4上运动,则|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|的最小值为( )A. | 3 | B. | 5 | C. | 2$\sqrt{5}$-1 | D. | 2$\sqrt{5}$+1 |
分析 利用圆的参数方程,结合向量的运算,可得|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|2=(2cosθ-5)2+(2sinθ-6+a)2,几何意义是A(2cosθ-5,2sinθ-6),与B(0,-a)之间距离的平方,即可得出结论.
解答 解:根据圆的参数方程,设Q(1+2cosθ,-2+2sinθ),P(0,a),
∵M(3,2),∴$\overrightarrow{MP}$=(-3,a-2),$\overrightarrow{MQ}$=(2cosθ-2,2sinθ-4),
∴$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$=(2cosθ-5,2sinθ-6+a),
∴|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|2=(2cosθ-5)2+(2sinθ-6+a)2,
几何意义是A(2cosθ-5,2sinθ-6),与B(0,-a)之间距离的平方,
显然,动点A在圆(x+5)2+(y+6)2=4上,动点B在y轴上,
∴当A(-3,-6),B(0,-6)时,B到A的距离取得最小值3,此时a=6,θ=0,
∴|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|的最小值为3.
点评 本题考查圆的方程,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用圆的参数方程是关键.
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