Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 =（a+b，sinA﹣sinC），且 =（c，sinA﹣sinB），且 ∥ ．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=8，求AC边上中线长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（a+b，sinA﹣sinC），且 =（c，sinA﹣sinB），且 ∥ ，

∴c（sinA﹣sinC）﹣（a+b）（sinA﹣sinB）=0，

由正弦定理可得：c（a﹣c）﹣（a+b）（a﹣b）=0，化为a2+c2﹣b2=ac，

∴cosB= = ，

∵B∈（0，π），

∴B= ．

（2）解：设AC边上的中点为E，由余弦定理得：（2BE）2=c2+a2﹣2cacos120°=（a+c）2﹣ac=64﹣ac≥64﹣ =48，当a=c时取到”=”．

∴ ．

∴AC边上中线长的最小值为2

【解析】（1）由 ∥ ，可得c（sinA﹣sinC）﹣（a+b）（sinA﹣sinB）=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．（2）设AC边上的中点为E，由余弦定理得：（2BE）2=c2+a2﹣2cacos120°=（a+c）2﹣ac=64﹣ac，再利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．