题目内容
【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆
过点
,离心率为
,
,
是椭圆
的长轴的两个端点(
位于
右侧),
是椭圆在
轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同两点
和
,使得向量
与
共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在
【解析】试题分析:(1)依题意得解得
,
.
所以椭圆的方程为
.(2)假设存在过点
且斜率为
的直线
适合题意,则因为直线
的方程为:
,于是联立方程,
.由直线
与椭圆
交于不同两点
和
知,
,
.令
,
,
,由韦达定理得出结论,
,根据向量
与
共线,可得
,
,这与
矛盾.
试题解析:
(1)设椭圆的方程为,
.依题意得解得
,
.
所以椭圆的方程为
.
(2)假设存在过点且斜率为
的直线
适合题意,则因为直线
的方程为:
,于是联立方程,
.
由直线与椭圆
交于不同两点
和
知,
,
.
令,
,
,
,
,
,
由题知,
,
.
从而,根据向量与
共线,可得
,
,这与
矛盾.
故不存在符合题意的直线.
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