题目内容
【题目】设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．
（1）证明：B﹣A= 
；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
【答案】
（1）解：由a=btanA和正弦定理可得 
= 
= 
，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（ 
+A）
又B为钝角，∴ +A∈（ ，π），
∴B= +A，∴B﹣A= ；
（2）解：由（1）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+ +A）= ﹣2A＞0，
∴A∈（0， 
），∴sinA+sinC=sinA+sin（ ﹣2A）
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣ 
）2+ 
，
∵A∈（0， ），∴0＜sinA＜ 
，
∴由二次函数可知 ＜﹣2（sinA﹣ ）2+ ≤
∴sinA+sinC的取值范围为（ ， ]
【解析】（1）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（2）由题意可得A∈（0， ），可得0＜sinA＜ ，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，由二次函数区间的最值可得．
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