Question

20．已知定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）•tanx恒成立，则（　　）

• A． $\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$＜$f（\frac{π}{3}）$
• B． $\sqrt{3}f（\frac{π}{4}）$＞$\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）$
• C． $\sqrt{2}f（\frac{π}{6}）$＞$f（\frac{π}{4}）$
• D． f（1）$＜2f（\frac{π}{6}）•sin1$

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求函数的导数，利用函数的单调性即得到结论．

解答 解：解：因为x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cox}{si{n}^{2}x}$＞0．
所以函数g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
则g（$\frac{π}{6}$）＜g（ $\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$），
即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}$＜$\frac{f（1）}{sin1}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴2f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\frac{f（1）}{sin1}$＜$\frac{2}{\sqrt{3}}$f（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$），$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$），$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$），2f（$\frac{π}{6}$）sin1＜f（1），
故A正确，B，C，D错误
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型