Question

15．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5，则弦AB的长为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的长

解答 解：∵PQ与⊙O相切于点A，
∴∠PAC=∠CBA，
∵∠PAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠CBA，
∴AC=BC=5，
又知AQ=6，AQ²=QB•QC=（QC-BC）•QC，
∴QC=9．
由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，
∴AB：AC=AQ：QC，
∴AB=$\frac{AC×AQ}{QC}$=$\frac{5×6}{9}$=$\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题