Question

3．己知函数f（x）=x³+ax²+x+b在x=1处取得极值3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，解得即可求出a，b的值，问题得以解决；
（Ⅱ）先根据导数判断出函数的单调性，再求出极值和端点值，比较即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+x+b，
∴f′（x）=3x²+2ax+1，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+a+1+b=3}\\{3+2a+1=0}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=3，
∴f（x）=x³-2x²+x+3；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{3}$，或x=1，
当f′（x）＞0时，解得0≤x＜$\frac{1}{3}$，或1＜x≤2，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，函数单调递减，
所以当x=$\frac{1}{3}$取得极大值，极大值f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{85}{27}$，
当x=1取得极小值，极大值f（1）=3，
又f（0）=3，f（2）=5，
故函数f（x）在x∈[0，2]的最大值为5，最小值为3．

点评 本题考查了导数和函数最值极值的关系，关键是掌握求极值的方法，属于中档题．