Question

5．用总长29.6米的钢条制作一个长方体容器的框架．如果所制容器底面一边的长比另一边的长多1米，那么高为多少时容器的容积最大？最大的容积是多少？

Answer 1

分析 先设容器底面短边长为xm，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．

解答 解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+1）m，
高为：$\frac{29.6-4x-4（x+1）}{4}$=6.4-2x．
由6.4-2x＞0和x＞0，得0＜x＜3.2，
设容器的容积为ym³，则有y=x（x+1）（6.4-2x）（0＜x＜3.2）
整理，得y=-2x³+4.4x²+6.4x，
∴y′=-6x²+8.8x+6.4
令y′=0，有-6x²+8.8x+6.4=0，即15x²-22x-16=0，
解得x₁=2，x₂=-$\frac{3}{5}$（不合题意，舍去）．
从而，在定义域（0，3.2）内只有在x=2处使y′=0．
由题意，若x过小（接近0）或过大（接近3.2）时，y值很小（接近0），
因此，当x=2时y取得最大值，y_最大值=-2×8+4.4×4+6.4×2=14.4，这时，高为6.4-2×2=2.4．
答：容器的高为2m时容积最大，最大容积为14.4m³．

点评 本题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．