Question

6．设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（$\frac{π}{2}$-x），且满足f（-$\frac{π}{3}$）=f（0）．
（1）求函数f（x）的最小正周期，对称中心；
（2）求函数f（x）在[-π，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简函数f（x），然后f（-$\frac{π}{3}$）=f（0），求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，对称中心；
（2）求出函数在定义域上的单调递增区间，结合x的范围即可得解．

解答 解：（1）f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（$\frac{π}{2}$-x）
=asinxcosx-cos²x+sin²x
=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x
由f（-$\frac{π}{3}$）=f（0）得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=-1
解得a=2$\sqrt{3}$，所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
所以，函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得对称中心为：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，0）k∈Z．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得在定义域上的单调递增区间为：x∈[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z，
∵x∈[-π，π]，
∴x∈[-π，-$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{13π}{6}$，-$\frac{3π}{2}$]，f（x）是增函数，
x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）是增函数，
x∈[$\frac{5π}{6}$，π]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{3π}{2}$，$\frac{11π}{6}$]，f（x）是增函数，
∴函数f（x）在[-π，π]上的单调递增区间为：[-π，-$\frac{2π}{3}$]∪[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]．

点评 本题主要考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，是常考题型，属于中档题．