题目内容
【题目】已知函数f（x）=1﹣ 
为定义在R上的奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解：（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，
所以 
在R上恒成立．
所以 （a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．
所以 
，解得 
或 
由定义域为R舍去 ，
所以 
．
（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，
当x=0时，得 
，得a=b+1，
当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得 
，
解得： ，
此时 
为奇函数；
所以 ．
（2）解：函数f（x）为R上的单调增函数．
证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，
则 
= 
因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以 
，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）为R上的单调增函数．
（3）解：因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm
而函数f（x）为R上的奇函数，
所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．
令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）
设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，
因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）
=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，
即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．
因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，
所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，
解得 
，所以实数m的范围是 
．
【解析】（1）法一：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0列出方程，化简后列出方程组求出a、b的值，结合条件求出f（x）的解析式；
法二：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0取特值后，列出方程组求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）先判断出f（x）的单调性，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由奇函数的性质先化简不等式，构造h（x）=f（x）+x，利用单调性的定义、f（x）的单调性证明h（x）在R上的单调性，由单调性列出不等式，即可求出m的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
