Question

【题目】已知函数f（x）=1﹣ 为定义在R上的奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，

所以 在R上恒成立．

所以 （a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．

所以 ，解得 或

由定义域为R舍去 ，

所以 ．

（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，

当x=0时，得 ，得a=b+1，

当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得 ，

解得： ，

此时 为奇函数；

所以 ．

（2）解：函数f（x）为R上的单调增函数．

证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，

则

=

因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以 ，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）为R上的单调增函数．

（3）解：因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm

而函数f（x）为R上的奇函数，

所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．

令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）

设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，

因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）

=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，

即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．

因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，

所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，

解得 ，所以实数m的范围是 ．

【解析】（1）法一：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0列出方程，化简后列出方程组求出a、b的值，结合条件求出f（x）的解析式；

法二：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0取特值后，列出方程组求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）先判断出f（x）的单调性，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由奇函数的性质先化简不等式，构造h（x）=f（x）+x，利用单调性的定义、f（x）的单调性证明h（x）在R上的单调性，由单调性列出不等式，即可求出m的范围．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．