题目内容
3．已知函数f（x）=x2+ax+1是定义在R上的偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明．
分析 （1）由f（x）是偶函数，即f（-x）=f（x），求得a的值；
（2）用定义证明f（x）的单调性，基本步骤是：取值，作差，判正负，下结论．
解答 解：（1）对任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）2+a（-x）+1，
即f（-x）=x2-ax+1，
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x2-ax+1=x2+ax+1，
∴-a=a，即a=0；
（2）由（1）知f（x）=x2+1，任取x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1+x2）（x1-x2），
∵x1，x2∈（-∞，0），x1＜x2，
∴x2+x1＜0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数．
点评 本题考查了函数奇偶性的应用与单调性的判定问题，是中档题．
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