Question

8．平面内四点A，B，C，P满足|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$|，AB=8，$\overrightarrow{CP}$=λ（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），其中0≤λ≤$\frac{1}{2}$，则△ABC是直角三角形，$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）的取值范围是[-32，0]．

Answer 1

分析 |$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$|，可得$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$=$|\overrightarrow{AB}|$，即可判断出△ABC的形状．如图所示，矩形ACBD，对角线相交于点E，以PA，PB为邻边作平行四边形PAQB．$\overrightarrow{CP}$=λ（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），其中0≤λ≤$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）=-λ$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{PQ}$，即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$|，
∴$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$=$|\overrightarrow{AB}|$，
∴△ABC是直角三角形，且$C=\frac{π}{2}$．
如图所示，矩形ACBD，对角线相交于点E，以PA，PB为邻边作平行四边形PAQB．
∵$\overrightarrow{CP}$=λ（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），其中0≤λ≤$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）=-λ$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{PQ}$∈[-32，0]．
故答案分别为：直角；[-32，0]．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．