Question

【题目】已知函数，已知函数在x=1处的切线方程为.

（1）求a的值；

（2）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）1.（2）证明见解析

【解析】

(1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义即可求解；

(2)要证原不等式成立,可考虑构造函数,然后转化为求解相应函数的范围,结合导数及函数性质可求.

(1)f′(x)=ex﹣2ax,

由题意可知,f′（1）=e﹣2a=e﹣2,

所以a=1；

(2)证明：∵函数在x=1处的切线方程为y=(e﹣2)x+1.

故可猜想：当x>0且x≠1时,f(x)的图象恒在切线y=(e﹣2)x+1的上方,

下证当x>0时,f(x)≥(e﹣2)x+1,

设g(x)=f(x)﹣(e﹣2)x+1,x>0,则g′(x)=ex﹣2x﹣e+2,g″(x)=ex﹣2,

∴g′(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,

因为g′(0)=3﹣e,g′（1）=0,0<ln2<1,

所以g′(ln2)<0,

故存在x0∈(0,ln2)使得g′(x0)=0,

所以,当x∈(0,x0),(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,

当x∈(x0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,

又g(0)=g（1）=0,

所以g(x)=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1≥0,

则g(x)=ex +(2-e)x﹣1≥x2，由

所以

令h(x)=x﹣lnx﹣1,x>0

则,

易得x=1是函数h(x)的极小值点,

所以h(x)≥h（1）=0,

故x≥lnx+1

所以,当x=1时取等号,

即证.