Question

16．已知0＜x＜1，0＜y＜1，xy=$\frac{1}{9}$，求log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y的最大值，并求相应的x，y值．

Answer 1

分析 由已知得$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞0，lo{g}_{\frac{1}{3}}y＞0$，由此利用对数性质和均值定理能求出log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y的最大值及相应的x，y值．

解答 解：∵0＜x＜1，0＜y＜1，xy=$\frac{1}{9}$，
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞0，lo{g}_{\frac{1}{3}}y＞0$，
∴log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y≤（$\frac{lo{g}_{\frac{1}{3}}x+lo{g}_{\frac{1}{3}}y}{2}$）²=（$\frac{lo{g}_{\frac{1}{3}}xy}{2}$）²=（$\frac{lo{g}_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{9}}}{2}$）²=（$\frac{2}{2}$）²=1．
∴当log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=log${\;}_{\frac{1}{3}}$y，即x=y=$\frac{1}{3}$时，log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y取最大值1．

点评 本题考查两个对数的乘积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和均值定理的合理运用．