Question

13．已知函数f（x）对?x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）探究函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求f（2010）的值．

Answer 1

分析 （1）根据单调性的定义进行证明即可；
（2）设f（b）=2，则f（x²-ax+5a）＜f（b）根据单调性可知x²-ax+5a-b＜0，求出a、b的值，利用赋值法，求出f（x）的表达式即可得到结论．

解答 证明：（1）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
f （x₂）-f （x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）
=f （x₂-x₁）+f （x₁）-1-f （x₁）=f （x₂-x₁）-1，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞1．
∴f （x₂）-f （x₁）=f （x₂-x₁）-1＞0，
即f （x₁）＜f （x₂），
∴f （x）在R上是增函数；
（2）设f（b）=2，则f（x²-ax+5a）＜f（b）
?x²-ax+5a-b＜0?-3＜x＜2，
即-3，2是方程x²-ax+5a-b=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}-3+2=a\\-3×2=5a-b\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$
∴f（1）=2．
在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）-1
∴f（n+1）-f（n）=1．
∴数列{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴f（n）=2+（n-1）×1=n+1
∴f（2010）=2011．

点评 本题主要考查了抽象函数的单调性，以及等差数列的通项公式，同时考查了赋值法的应用和计算能力，属于中档题．