Question

5．直线l₁：mx-y=0与直线l₂：x+my-2m-2=0（m∈R）交点为点P：
（1）求点P的轨迹方程；
（2）直线2x+y+b=0与P点的轨迹交于A，B两点，且∠AOC为钝角，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立两条直线方程，消去m，即得到l₁和l₂的交点P的轨迹方程；
（2）由∠AOC为钝角，可得45°＜∠ABC＜90°，圆心到直线的距离d＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即可求b的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{mx-y=0}\\{x+my-2m-2=0}\end{array}\right.$，
消去m可得x²+y²-2x-y=0，
即点P的轨迹方程是x²+y²-2x-y=0；
（2）x²+y²-2x-y=0可化为（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，圆心坐标为B（1，$\frac{1}{2}$），半径为r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠AOC为钝角，
∴45°＜∠ABC＜90°，
∴圆心到直线的距离d＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴$\frac{|2+\frac{1}{2}+b|}{\sqrt{5}}$＞$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴b＜-$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$或b＞-$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，三直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．