Question

【题目】已知抛物线 和 所围成的封闭曲线，给定点A（0，a），若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上．
当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为（x1 ， y1），其中y1= ，且﹣4≤x1≤4，则其关于点A的对称点为（﹣x1 ， 2a﹣y1），
所以这个点在曲线 上，
所以2a﹣y1=﹣ x12+5，即2a﹣ =﹣ x12+5，
所以2a= x12+5，即 x12+5﹣2a=0，此方程的x1的解必须刚好有且只有两个，
当x1=4时，其对称点的横坐标刚好为﹣4，故x1≠±4，
于是﹣4＜x1＜4，且x1≠0，
∴2a= x12+5∈（5，8），即 ．
所以答案是： ．