题目内容
2.已知函数f(x)=a-$\frac{2}{x}$,若不等式f(x)<x在区间[c,+∞)(c为正常数)上恒成立,则实数a的取值范围为$\left\{\begin{array}{l}{a<2\sqrt{2}\\;0<c<\sqrt{2}}\\{a<c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$.分析 不等式可整理为a<$\frac{2}{x}$+x,构造函数求出g(x)=$\frac{2}{x}$+x的最小值即可.
解答 解:f(x)<x恒成立,
∴a<$\frac{2}{x}$+x,
令g(x)=$\frac{2}{x}$+x,
当0<c<$\sqrt{2}$时,g(x)≥2$\sqrt{2}$,
∴a<2$\sqrt{2}$;
当c≥$\sqrt{2}$时,
g(x)≥c+$\frac{2}{c}$,
∴a<c+$\frac{2}{c}$,
故a的范围为$\left\{\begin{array}{l}{a<2\sqrt{2}\\;0<c<\sqrt{2}}\\{a<c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$.
点评 考查了恒成立问题和抽象函数g(x)=$\frac{2}{x}$+x的最小值讨论问题.
练习册系列答案
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A. | (2,-1) | B. | (1,-1) | C. | ($\frac{1}{4}$,-$\frac{1}{4}$) | D. | ($\frac{1}{16}$,-$\frac{1}{16}$) |