题目内容

【题目】已知圆和点,动圆经过点且与圆相切,圆心的轨迹为曲线

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)四边形的顶点在曲线上,且对角线均过坐标原点,若 .

(i) 求的范围;(ii) 求四边形的面积.

【答案】(I) ;(II)(i) , (ii)

【解析】

(I)求出圆M的圆心,半径,通过动圆P经过点N且与圆M相切,设动圆P半径为r,则 |PM|.曲线EMN为焦点,长轴长为的椭圆.求解即可;

(Ⅱ)把直线AB的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理表示及目标即可得到结果.

(I)圆的圆心为,半径为,点在圆内,因为动圆经过点且与圆相切,所以动圆与圆内切。设动圆半径为,则 .

因为动圆经过点,所以, ,所以曲线E是M,N为焦点,长轴长为的椭圆. 由,得,所以曲线的方程为

(II)当直线AB的斜率不存在时,,所以的最大值为2.

当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为,设

联立,得

,

=

因此,

(ii)设原点到直线AB的距离为d,则

.

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