题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，过且垂直于
轴的焦点弦的弦长为
，过的直线
交椭圆于
，
两点，且
的周长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
，
互相垂直，直线过且与椭圆交于点
，
两点，直线过且与椭圆交于
，
两点.求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】分析：（1）根据周长确定
，由通径确定
，求得
，因而确定椭圆的方程。
（2）分析得直线
、直线
的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为
，因而直线的方程为
.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程
.由韦达定理求得
和
，进而.
当AB斜率不存在时，求得
，
，所以。
当直线的斜率为
时，求得
，
，所以。
即可判断。
详解：（1）将
代入
，得
，所以.
因为
的周长为
，所以
，，
将代入，可得，
所以椭圆
的方程为.
（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，
设直线的方程为，则直线的方程为.
由
消去
得.
由韦达定理得
，
，
所以，
.
同理可得.
.
（ii）当直线的斜率不存在时，，，.
（iii）当直线的斜率为时，，，.
综上，.
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