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已知抛物线
,直线
与C交于A,B两点,O为坐标原点。
(1)当
,且直线
过抛物线C的焦点时,求
的值;
(2)当直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求
,
之间满足的关系式,并证明直线
过定点。
试题答案
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(Ⅰ) 8 (Ⅱ)
直线
过定点(-4,4)
(1)抛物线
的焦点为(1,0) 2分
由已知
=
,设
,
,
联立
,消
得
,
所以
,
4分
(2)联立
,消
得
………………(*)(依题意
≠0)
,
, 8分
设直线OA, OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为
,
,则α+β=45°,
,
9分
其中
,
,代入上式整理得
11分
所以
,即
, 12分
此时,使(*)式有解的
,
有无数组
直线
的方程为
,整理得
消去
,即
时
恒成立,
所以直线
过定点(-4,4)
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如图,设抛物线方程为
x
2
=2
py
(
p
>0),
M
为直线
y
=-2
p
上任意一点,过
M
引抛物线的切线,切点分别为
A
,
B
.
(Ⅰ)求证:
A
,
M
,
B
三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当
M
点的坐标为(2,-2
p
)时,
,求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点
M
,使得点
C
关于直线
AB
的对称点
D
在抛物线
上,其中,点
C
满足
(
O
为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点
M
的坐标;若不存在,请说明理由.
在抛物线
上求一点,使该点到直线
的距离最小,并求最小值.
在抛物线
上找一点P
,其中
,过点P作抛物线的切线,使此切线与抛物线及两坐标轴所围平面图形的面积最小 ( )
A.
B.
C.
D.
已知抛物线
通过点
,且在点
处与直线
相切,求实数
a、b、c
的值.
已知双曲线中心在原点,离心率为
,若它的一条准线与抛物线y
2
=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线交点到原点的距离是( )
A.2
+
B.
C.18+12
D.21
过抛物线y
2
=4x的顶点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A、B两点,则线段AB的中点P(x,y)的轨迹方程是( )
A.y
2
="-2x-8 " B.y
2
=2x-8
C.y
2
="2x+8 " D.y
2
=-2x+8
边长为1的正△AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A、B的抛物线方程为( )
A.y
2
=
x B.y
2
=-
x C.y
2
=±
x D.y
2
=±
x
已知抛物线
,圆
,
(其中
为常数)是
直线
上的点,倾斜角为锐角
的直线
过点
且与抛物线C交于两点A、B,与圆M交于C、D两点.
(1)请写出直线
的参数方程;
(2)若
,且
,求
的值.
关 闭
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