题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,侧面
为正方形,侧面
为菱形,
,平面
平面
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)证明出平面
,然后以点
为坐标原点,分别以
,
所在的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,设正方形
的边长为
,利用空间向量法可计算出直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)计算出平面的一个法向量
,以及平面
的一个法向量
,利用空间向量法可计算出二面角
的余弦值.
(1)因为四边形为正方形,所以
,
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
以点为坐标原点,分别以
,
所在的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
不妨设正方形的边长为
,则
,
.
在菱形中,因为
,所以
,所以
.
因为平面的法向量为
,
设直线与平面
所成角为
,则
,
,
即直线与平面
所成角的正弦值为
;
(2)由(1)可知,,所以
.
设平面的一个法向量为
,
因为即
取,
,
,即
.
设平面的一个法向量为
,因为
,
,
因为,所以
,取
.
设二面角的平面角为
,
则,
所以二面角的余弦值为
.
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