Question

16．已知函数$f（x）=\root{3}{x}-{（\frac{1}{2}）^x}$，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{3}）$
• B． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$
• D． $（\frac{2}{3}，1）$

Answer 1

分析 可判断函数$f（x）=\root{3}{x}-{（\frac{1}{2}）^x}$在其定义域上连续，再由零点的判定定理判断即可．

解答 解：函数$f（x）=\root{3}{x}-{（\frac{1}{2}）^x}$在其定义域上连续，
f（$\frac{1}{2}$）=$\root{3}{\frac{1}{2}}$-$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{2}}$=$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$-$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{2}}$＜0，
f（$\frac{2}{3}$）=$（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{3}}$-$（\frac{1}{2}）^{\frac{2}{3}}$=$（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{3}}$-$（\frac{1}{4}）^{\frac{1}{3}}$＞0，
故f（$\frac{1}{2}$）f（$\frac{2}{3}$）＜0，
故选C．

点评 本题考查了函数的零点的判定定理及指数函数与幂函数的单调性的应用．