Question

8．在直角坐标系xoy中，不共线的四点A，B，C，D满足$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，且$\overrightarrow{AC}=（1，2）$，$\overrightarrow{DB}=（3，4）$，求：
（1）$\overrightarrow{AB}\;，\;\overrightarrow{AD}$的坐标；
（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，且A，B，C，D不共线，可得ABCD为平行四边形，记AC与BD的交点为O，根据平面向量的坐标运算即可得解．
（2）由（1）可求|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{AD}$|的值，从而可求cos∠BAD=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AD}|}$，结合范围0＜∠BAD＜π可求sin∠BAD的值，利用三角形面积公式即可求解．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，且A，B，C，D不共线，
所以四边形ABCD为平行四边形，记AC与BD的交点为O，
则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}}{2}$=（2，3），
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DO}=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}}{2}$=（-1，-1）…6分
（2）由（1）可知，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
cos∠BAD=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{2×（-1）+3×（-1）}{\sqrt{13}×\sqrt{2}}$=-$\frac{5}{\sqrt{26}}$，
因为sin²∠BAD+cos²∠BAD=1，且0＜∠BAD＜π，
所以sin∠BAD=$\frac{1}{\sqrt{26}}$，
故平行四边形ABCD的面积为：|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AD}$|sin∠BAD=$\sqrt{13}×\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{26}}=1$…14分

点评 本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查了同角的三角函数关系式的应用，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．