题目内容

7.已知函数f(x)=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$,f′(0)=9,其中a>0,b,c∈R,且b+c=10.
(1)求b,c的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若0<a≤1,求证:当x>1时,(x3+1)f(x)>9+lnx.

分析 (1)求出f(x)的导数,由条件列方程,可得b=9,c=1,由a>0,令导数大于0,可得增区间;令导数小于0,可得减区间;
(2)当x>1时,(x3+1)f(x)>9+lnx.即为f(x)>$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$在x>1成立,分别求得f(x)的最值和g(x)=$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$的最值,即可得证.

解答 (1)解:f(x)=$\frac{bx}{a{x}^{2}+c}$,
f'(x)=$\frac{-ab{x}^{2}+9}{(a{x}^{2}+1)^{2}}$,f′(0)=9,且b+c=10,
∴c=1,b=9,f'(x)=$\frac{-9a{x}^{2}+9}{(a{x}^{2}+1)^{2}}$,a>0,
当x∈(-$\frac{\sqrt{a}}{a}$,$\frac{\sqrt{a}}{a}$)时,f'(x)>0,f(x)递增;
当x∈(-∞,-$\frac{\sqrt{a}}{a}$)和($\frac{\sqrt{a}}{a}$,+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减;
(2)证明:当x>1时,(x3+1)f(x)>9+lnx.即为f(x)>$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$在x>1成立,
由g(x)=$\frac{9+lnx}{1+{x}^{3}}$的导数为g'(x)=$\frac{\frac{1}{x}-26{x}^{2}-3{x}^{2}lnx}{(1+{x}^{3})^{2}}$<0,
即有g(x)在x>1递减,则g(x)<g(1)=$\frac{9}{2}$;
由(1)可得f(x)在(1,$\frac{\sqrt{a}}{a}$)时,f(x)递增;
($\frac{\sqrt{a}}{a}$,+∞)时,f(x)递减.
x=1时f(1)=$\frac{9}{1+a}$≥$\frac{9}{2}$,
可得x=$\frac{1}{\sqrt{a}}$处取得最大值,即为$\frac{9}{2\sqrt{a}}$>$\frac{9}{2}$,
又($\frac{\sqrt{a}}{a}$,+∞)时,f(x)>g(x).
则有当x>1时,(x3+1)f(x)>9+lnx.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查不等式的恒成立问题的解法,注意运用函数的导数求得单调性,考查运算能力,属于中档题.

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