题目内容

10.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1与抛物线y2=2px有公共焦点F,双曲线与抛物线的准线交于M、N两点,且△MNF为等边三角形,则p的值为(  )
A.2B.2$\sqrt{2}$C.4$\sqrt{2}$D.6

分析 求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标,利用三角形是等边三角形求出p即可.

解答 解:由题意,a2+6=$\frac{{p}^{2}}{4}$.
准线方程与双曲线联立可得y=±$\frac{6}{a}$
因为△ABF为等边三角形,所以2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{12}{a}$,即ac=3$\sqrt{3}$,
即a2(a2+6)=27,解得a2=3,
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$=9,
∴p=6.
故选:D.

点评 本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及计算能力.

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