Question

18．解下列不等式：
（1）|4x²-10x-3|＜3；
（2）|$\frac{3x}{{x}^{2}-4}$|≤1；
（3）|2x+1|＞|5-x|；
（4）|x-x²-2|＞x²-3x-4；
（5）|x-3|＞|x+5|+7．

Answer 1

分析 （1）把原不等式化为-3＜4x²-10x-3＜3，即$\left\{\begin{array}{l}{{4x}^{2}-10x＞0}\\{{4x}^{2}-10x-6＜0}\end{array}\right.$，从而求得它的解集．
（2）把原不等式化为-1≤$\frac{3x}{x-4}$≤1，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{3x}{{x}^{2}-4}≥-1}\\{\frac{3x}{{x}^{2}-4}≤1}\end{array}\right.$，从而求得它的解集．
（3）把原不等式化为 （2x+1）²＞（5-x）²，即 3x²+14x-24＞0，从而求得它的解集．
（4）把原不等式化为|x²-x+2|＞x²-3x-4．由于 x²-x+2＞0，可得x²-x+2＞x²-3x-4，从而求得它的解集．
（5）由条件根据绝对值的意义，求得它的解集．

解答 解：（1）由|4x²-10x-3|＜3，可得-3＜4x²-10x-3＜3，即$\left\{\begin{array}{l}{{4x}^{2}-10x＞0}\\{{4x}^{2}-10x-6＜0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0或x＞\frac{10}{4}}\\{-\frac{1}{2}＜x＜3}\end{array}\right.$，
∴原不等式的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜0 或$\frac{5}{2}$＜x＜3}．
（2）由|$\frac{3x}{{x}^{2}-4}$|≤1，可得-1≤$\frac{3x}{x-4}$≤1，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{3x}{{x}^{2}-4}≥-1}\\{\frac{3x}{{x}^{2}-4}≤1}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{（x+4）（x-1）}{（x+2）（x-2）}≥0}\\{\frac{（x-4）（x+1）}{（x+2）（x-2）≥0}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≤-4或-2＜x≤1或x＞2}\\{x＜-2或-1≤x＜2或x≥4}\end{array}\right.$，
∴原不等式的解集为{x|x≤-4 或-1≤x≤1或 x≥4}．
（3）由|2x+1|＞|5-x|可得 （2x+1）²＞（5-x）²，即 3x²+14x-24＞0，
求得原不等式的解集为{x|x＜$\frac{-7-\sqrt{91}}{3}$ 或x＞$\frac{-7+\sqrt{91}}{3}$}．
（4）|x-x²-2|＞x²-3x-4，即|x²-x+2|＞x²-3x-4．由于 x²-x+2＞0，
可得x²-x+2＞x²-3x-4，即 2x＞-6，故原不等式的解集为{x|x＞-3}．
（5）|x-3|＞|x+5|+7，即|x-3|-|x+5|＞7．
而|x-3|-|x+5|表示数轴上的x对应点到3的距离减去它到-5的距离，而-4.5对应点到3的距离减去它到-5的距离正好等于7，
故原不等式的解集为{x|x＜-4.5 }．

点评 本题主要考查绝对值不等式、分式不等式、一元二次不等式的解法，绝对值的几何意义，属于中档题．