题目内容
【题目】已知双曲线过点
,且渐近线方程为
,直线
与曲线
交于点
、
两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线过原点,点
是曲线
上任一点,直线
,
的斜率都存在,记为
、
,试探究
的值是否与点
及直线
有关,并证明你的结论;
(3)若直线过点
,问在
轴上是否存在定点
,使得
为常数?若存在,求出点
坐标及此常数的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
,
的值与点
及直线
无关,证明见解析;(3)存在,
,
,理由见解析
【解析】
(1)根据渐近线设出渐近线方程,将点代入即可求出双曲线
的方程.
(2)根据直线与双曲线的对称性知道点与点
关于原点对称,设出点
、
、
,将其斜率表示出来,利用点
、
在双曲线上,化简即可说明
为定值且直线
与关.
(3)根据题意设出直线与点,联立直线与双曲线,表示出
,利用
为定值,即与斜率无关,根据比值即可求出定点
与
的值.
(1) 因为渐近线方程为.
所以可设双曲线为,
将点代入
,解得
所以双曲线的方程为
(2)直线过原点,由双曲线的对称性知道,点
、
关于原点对称.
设点 ,
,则点
代入,有
,
所以,
.
将,
代入得
.
所以,
的值与点
及直线
无关.
(3)由题意知直线斜率存在,故设直线为
,点
、
、
由,得
,
且
又,
,
所以
令解得
,此时
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