题目内容
【题目】在梯形中,
,
为
的中点,线段
与
交于
点(如图1).将
沿
折起到
的位置,使得二面角
为直二面角(如图2).
(1)求证:平面
;
(2)线段上是否存在点
,使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)线段上存在点
,且
【解析】
(1)推导出,从而四边形
为平行四边形,推导出
,由此能证明
平面
;
(2)建立空间直角坐标系,设
,利用向量法能求出线段
上存在点
,且
时,使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为
.
(1)证明:因为在梯形中,
,
为
的中点,
所以,
所以四边形为平行四边形,
因为线段与
交于
点,
所以为线段
的中点,
所以中
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)解:平行四边形中,
,
所以四边形是菱形,
,垂足为
,
所以,
因为平面
,
平面
,
所以是二面角
的平面角,
因为二面角为直二面角,
所以,即
.
可以如图建立空间直角坐标系,其中
,
因为在图1菱形中,
,
所以,
所以,
所以,
,
设为平面
的法向量,
因为,所以
,即
,
取,得到
,
所以;
线段上存在点
使得
与平面
所成角的正弦值为
,
设,
因为,
所以,
因为,
所以,
因为,所以
,
所以线段上存在点
,且
,使得
与平面
所成角的正弦值为
.
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