题目内容
【题目】如图,直四棱柱的所有棱长均为2,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若,求平面
与平面
所成锐二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)45°.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连结交
于
,取
中点
,连结
.由题意可得
是平行四边形,故
.利用中位线的性质可得四边形
为平行四边形.则
,结合线面平行的判断定理可得
平面
.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系
,结合点的坐标可求得平面
的法向量
,显然平面
的一个法向量
,据此计算可得平面
与平面
所成锐二面角的大小为45°.
试题解析:
(Ⅰ)连结交
于
,取
中点
,连结
.
因为,所以
是平行四边形,故
.
又是
的中位线,故
,所以
,
所以四边形为平行四边形.
所以,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,
则,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,即
,
解得,
令,得
,
显然平面的一个法向量
,
所以,
所以平面与平面
所成锐二面角的大小为45°.
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