Question

【题目】已知椭圆 的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）利用椭圆的准线方程和离心率即可求解；（2）设出点的坐标，写出的直线方程，求出点的坐标，利用两点间的距离公式和点在椭圆上进行化简求解.

试题解析：（1）∵椭圆的右准线方程为 ∴ ∵离心率为 ∴

∴ ∴ ∴椭圆的方程为： ;

（2）方法（一）设点 ，则， ，即．

当时， ，则， ∴

∵点异于点 ∴

当且时，设直线方程为： ，它与轴交于点

直线方程为： ，它与轴交于点

∴，

∴

为定值．

方法（二）若直线斜率不存在，则直线方程为： ，此时，则，

∴

若直线斜率存在，设直线方程为： ，且

∴且

则联立方程： 得： ，解得： 或，

即点 ∵点异于点∴

∴

∴直线的方程为： ，

则且

∴为定值．