Question

【题目】恩施州某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据电影院的经营经验，当每张票价不超过10元时、票可全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收入，需要给电影院一个合适的票价，基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍．②影院放映一场电影的成本是4000元，票房收入必须高于成本，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该电影放映一场的纯收入（除去成本后的收入）．

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）票价定为多少时，电影放映一场的纯收入最大？

Answer 1

【答案】（1）y（x∈Z）；（2）22元．

【解析】

（1）设每张票价为元，通过当时，求出，利用得，当时，求出，得到，写出函数的解析式．（2）利用分段函数的解析式分别求解函数的最值．

（1）设每张票价为x元

当x≤10时，y＝1000x﹣4000，由1000x﹣4000＞0得：x＞4，又x是整数，∴5≤x≤10，

当x＞10时，y＝[1000﹣30（x﹣10）]x﹣4000＝﹣30x2+1300x﹣4000，

由﹣30x2+1300x﹣4000＞0得：x＜40，∴10＜x≤40，

∴y （x∈Z）；

（2）若x≤10，y＝1000x﹣4000是增函数，∴x＝10时，y有最大值6000，

若x＞10，y＝﹣30x2+1300x﹣4000，对称轴为x21，

又x是整数，所以当x＝22时，y最大，此时y＝10080，

∴每张票价定为22元时，放映一场的纯收入最大．