题目内容
【题目】如图，在梯形
中，
，
，
，
，四边形
是菱形，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的正切值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由勾股定理可得
，结合面面垂直的性质有
.由菱形的性质可得
，则
平面
，
.
(Ⅱ)取
的中点
，连接
，以
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，据此计算可得平面
的法向量
，平面
的法向量
.
则二面角
的平面角的余弦值
，正切值为.
试题解析：
(Ⅰ)依题意，在等腰梯形
中，
，
，
∵
，∴
即，
∵
，∴
，而
，∴.
连接
，∵四边形
是菱形，∴，
∴
，∵
，∴.
(Ⅱ)取的中点，连接，因为四边形是菱形，且
.
所以由平面几何易知
，∵，∴
.
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：
，
，
，
，
，
.
设平面和平面的法向量分别为
，
，
∵
，
.
∴由
，令
，则，
同理，求得.
∴，故二面角的平面角的正切值为.
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